Section 1. Diviser pour régner,rassembler pour saisir

Le mathématicien Henri Poincarré faisait remarquer au début du XX^ième siècle que la science progresse de façon très particulière: une théorie représente une avancée significative si elle remplace plusieurs théories distinctes ou si elle englobe plusieurs phénomènes d’allure différents. Ce fut le cas pour la théorie de Newton qui permettait d’englober la mécanique céleste et la théorie de la chute des graves (la pesanteur). Or, au fur et à mesure que la science fait des théories de plus en plus générale expliquant de plus en plus de facteurs ayant de plus en plus de niveaux, de nouveaux phénomènes inexpliqués apparaissent à la frange du compris. Comme le dit Poincarré:

Dans l’histoire de la [science], on distingue deux tendances inverses. D’une part, on découvre à chaque instant des liens nouveaux entre des objets qui semblaient devoir rester étrangers; ils tendent à s’ordonner en une imposante synthèse. La science marche vers l’unité et la simplicité. D’autre part, l’observation nous révèle tous les jours des faits nouveau; ce que nous croyions simple redevient complexe et la science paraît marcher vers la variété et la complication. De ces deux tendances inverses, laquelle l’emportera? Si c’est la première, la science est possible; mais rien ne le prouve à priori. (La science et l’hypothèse, 1902, p. 183)

On synthétise facilement les résultats dans ce tableau des moyennes :

Dans un premier regard, il semble qu’il n’y ait pas d’interaction (l’interaction moyenne est de 0.45, comparable à l’écart type à l’intérieur d’un groupe). Si vous faîtes le graphique, on voit que les résultats semblent être parallèles, un autre signe d’absence d’interaction. En utilisant un logiciel, on obtient cette table d’ANOVA synthétisant les résultats :

Vérifiez premièrement que la somme des carrés est bien additive. Vérifiez aussi que les degrés de libertés sont bien répartis. Vérifiez aussi que les carrés moyens sont calculés correctement. Finalement, vérifiez les ratios F. Remarquez que deux ratios semblent nettement supérieurs à 1 (dans un test F, on veut savoir si le ratio est > 1). Une fois la validité du tableau vérifiée, il nous reste à le comprendre.

La première hypothèse que nous devons vérifier dans le tableau concerne l’interaction. En effet, si une interaction est présente, il faut immédiatement passer aux effets simples (et procéder à des analyses complémentaires). Si l’interaction n’est pas significative, on peut analyser les effets principaux directement.

L’hypothèse implicite dans l’interaction est que l’interaction n’est pas différente de zéro. Formellement, dans notre plan 2 × 2, nous notons :

H₀ : Interaction A × B absente

On rejette H₀ si > S_AB(α) dans laquelle la valeur se distribue comme une distribution de F avec les degrés de liberté ( p – 1 )( q – 1), p q ( n – 1), soit dans notre exemple, (1, 16). La valeur critique s_AB (α) est obtenue par la table F et est de 4.494. Comme on le voit, le ratio dans le tableau à la ligne Interaction (AB) est de 1.97, pas supérieur à 4.494. On ne rejette donc pas H₀, et concluons que l’interaction n’est pas significative.

Étant donné l’absence d’interaction, on peut examiner les effets principaux. Les hypothèses sont:

H_0A Absence d’effet du facteur A

H_0B : Absence d’effet du facteur B

En substance, on teste si les moyennes marginales sont les mêmes ou diffèrent.

On rejète les hypothèses H_0A si et H_0B si . Il appert qu’ici, les valeurs critiques s_A(a) et s_B(a) sont identiques puisque les degrés de libertés sont les mêmes (1, 16). Ce n’est pas forcément le cas, puisque les degrés de libertés dépendent du nombre de niveaux pour chaque facteur.

Dans notre cas, les deux effets principaux excèdent la valeur critique. Ne reste plus qu’à conclure. Dans l’expérience, l’effet de la variable Thérapie est significative ( F(1,16) = 196.6, p < .05). La thérapie par désensibilisation permet aux participants de parler en public plus longtemps avant de manifester des signes d’anxiétés (5.6 min) qu’avec la thérapie par immersion (3.7 min). Le nombre de séances a aussi un effet significative (F(1,16) = 164.7, p < .05). Les participants ayant reçus 10 sessions parlent en public en moyenne 5.5 min avant de manifester des signes d’anxiétés, contre 3.5 min avec seulement 5 séances. L’interaction Séance par Thérapie n’est pas significative (F(1,16) = 1.97, p > .05).

5.2. Plan factoriel 2×2 revisité: Thérapie × Séances avec interaction

Supposons plutôt que les résultats obtenus dans l’expérience décrite ci-haut aient été :

On synthétise facilement les résultats dans ce tableau des moyennes :

Remarquez que les moyennes marginales sont absolument identiques à ce que nous avions obtenues précédemment. Est-ce à dire que les résultats sont comparables ? Si on jette un coup d’œil informel à l’interaction moyenne, on trouve une valeur de –6.25, une valeur nettement supérieure à l’écart type à l’intérieur d’un groupe, ce qui suggère une très forte interaction sous-additive. Si vous faîtes le graphique, on voit que les lignes sont loin d’être parallèles, appuyant le résultat de l’interaction moyenne. En utilisant un logiciel, on obtient cette table d’ANOVA synthétisant les résultats :

Commencez par vérifier la validité du tableau en vérifiant les nombres de degrés de liberté, les carrés moyens et les ratios.

La première hypothèse que nous devons vérifier dans le tableau concerne l’interaction. En effet, si une interaction est présente, il faut immédiatement passer aux effets simples (et procéder à des analyses complémentaires). Inutile de regarder les effets principaux (même s’ils sont automatiquement fourni par le listing du logiciel).

Autrement dit:

H₀: Absence d’interaction A × B

H₀: Interaction A × B

On peut rejeter H₀ si > S_AB(α) dans laquelle la valeur se distribue comme une distribution de F avec les degrés de liberté ( p – 1 )( q – 1), p q ( n – 1), soit dans notre exemple, 1,16. La valeur critique s_AB (a) est obtenue par la table F et est de 4.494. Comme on le voit, le ratio dans le tableau à la ligne Interaction (AB) est de 269.77, très nettement supérieur à s_AB(a). L’interaction est donc significative. Autrement dit, les moyennes marginales ne reflètent absolument pas les moyennes des différentes cellules. Nous sommes donc tenu de procéder à une décomposition. Nous choisissons (arbitrairement dans cet exemple) de décomposer suivant les niveaux de B. Nous aurons donc une analyse pour l’effet de A quand le nombre de séances est 5, et un effet de A quand le nombre de séances est 10. Le logiciel fourni le tableau suivant de la nouvelle analyse :

Pour conclure, on dira qu’après 5 séances, l’effet de la thérapie par immersion produit des résultats significativement supérieurs à ceux obtenus avec la thérapie par désensibilisation (F(1,16) = 10.70, p < .05). La performance moyenne est de 3.90 min contre 3.02.min. Toutefois, après 10 séances, l’effet s’inverse, et la thérapie par désensibilisation est significativement supérieure à la thérapie par immersion (F(1,16) = 398.30, p < .05). L’interaction entre l’effet de la thérapie et l’effet du nombre de séance est significative (F(1,16) = 269.77, p < .05).

On aurait pu faire l’analyse des effets simples de séances à chacun des niveaux de thérapie (B|a₁ et B|a₂). Les résultats seront évidemment les mêmes. Cependant, dans certains cas, l’interprétation des résultats est plus facile suivant une décomposition plutôt que l’autre. Il est très important de noter que ces deux décompositions ne sont pas orthogonales. C’est pourquoi le chercheur devra choisir entre une ou l’autre analyse des effets simples.

5.3. Plan 3×3: Niveau d’association et nombre de mots sur la mémoire

Supposons une expérience sur la mémoire verbale où un chercheur étudie les effets du niveau d’association entre les mots (bas, moyen, élevé), tel Docteur-infirmière, et la longueur de la liste de mots à mémoriser (8, 12 ,16) sur le nombre de mots mémorisés par les participants. Neuf groupes indépendants sont soumis à l’expérience. Les données brutes sont:

suivit du tableau des moyennes:

Quand le plan est supérieur à 2 × 2, la formule de l’interaction moyenne devient très complexe à calculer. Il est préférable de faire un graphe. Dans ce cas-ci, on observe des effets non parallèles, suggérant une interaction. Cette table d’ANOVA synthétisant les résultats :

Commencez par vérifier la validité du tableau en vérifiant les nombres de degrés de liberté, les carrés moyens et les ratios.

La première hypothèse que nous devons vérifier dans le tableau concerne l’interaction(l’hypothèse implicite dans l’interaction est que l’interaction moyenne n’est pas différente de zéro). Formellement, dans l’analyse de ce plan 3 ´ 3, nous notons :

H₀ : Interaction A × B absente

H₁ : Interaction A × B présente

On peut rejeter H₀ si > S_AB(α) dans laquelle la valeur se distribue comme une distribution de F avec les degrés de liberté ( p – 1 )( q – 1), p q ( n – 1), soit dans notre exemple, (4, 27). La valeur critique s_AB (a) est obtenue par la table F et est de 2.728. Comme on le voit, le ratio dans le tableau à la ligne Interaction (AB) est de 6.14, supérieur à s_AB(a). L’interaction est donc significative. Autrement dit, les moyennes marginales ne reflètent absolument pas les moyennes des différentes cellules. Nous choisissons (arbitrairement dans cet exemple) de décomposer suivant les niveaux de B. Nous aurons donc une analyse pour l’effet de A quand la longueur de la liste est 8, un effet de A quand la longueur de la liste est 12, et un effet de A quand la longueur de la liste est 16. Le logiciel fourni le tableau suivant de la nouvelle analyse :

Dans le cas de ces décomposition, la valeur critique s(a) se trouve dans la table avec (2, 27) degrés de liberté. On trouve 3.354. Pour conclure, on dira qu’après une liste de 8 mots, la force d’association a un effet significatif sur le rappel (F(2, 27) = 8.88, p < .05). Les mots avec une force d’association élevées sont mieux rappelés que les mots avec une faible force d’association (7.75 vs. 4.25 mots, respectivement). Il en va de même pour des listes de 12 mots (F(2,27) = 24.18, p < .05), où le nombre de succès est de 11.75 et 6.00 pour les mots à force d’association élevée et faible, respectivement. Pour les listes de 16 mots cependant, il n’existe plus de différence entre les forces d’association (F(2,27) = 1.86, p > .05). Le nombre moyen de mots rappelés pour les listes de 16 mots est de 11.33. L’interaction entre la longueur des listes et la force d’association est significative (F(4,27) = 6.14, p < .05).

Il faut noter qu’une ANOVA n’informe pas à savoir si, pour les listes de 8 et 12 mots, la force d’association moyenne est équivalent à la force d’association élevée, à la force d’association faible ou entre les deux. Pour avoir des informations plus fines, il faut procéder à une comparaison de moyenne.

Section 6. Comparaison de moyennes

Une ANOVA ne permet de conclure que sur la plus grande différence. Cependant, si votre plan possède trois niveaux, on ne sait pas si le niveau intermédiaire est significativement différent des deux autres ou s’il ressemble à l’une ou l’autre des moyennes extrêmes. Souvent, notre recherche est plus intéressée dans les valeurs extrêmes, mais il peut arriver que l’on veuille en savoir plus sur la valeur intermédiaire. Si tel est le cas, il faut procéder à une comparaison de moyennes.

Le problème de la comparaison des moyennes est un problème complexe qui a suscité de nombreuses études. Le problème vient du fait que l’on ne peut pas faire un test t par couple de variables. Par exemple, pour un plan avec un seul facteur ayant 4 niveaux, il faudrait comparer ₁ et ₂, ₁ et ₃, ₁ et ₄, ₂ et ₃, ₂ et ₄, ₃ et ₄, soit 6 comparaisons. Chaque test t a un risque a de retourner la mauvaise décision. Si on réalise 6 comparaisons, on a beaucoup plus de chance de faire une mauvaise décision (exactement 1 – (1 ‑ a)^6,soit 26%), ce qui signifie que l’on court vers de gros problèmes. Pour éviter ce problème de comparaisons multiples, il faut utiliser un test subalterne à l’ANOVA qui va corriger pour ce risque accru d’erreur a.

On peut distinguer plusieurs situations :

• Si l’hypothèse de recherche prévoit les tests d’au plus p – 1 comparaisons (ou p × q – 1 dans le cas d’un plan factoriel à deux facteurs), il est possible d’évaluer les « contrastes » désirés au moyen de la technique dite des comparaisons a priori orthogonales.
• Si l’hypothèse de recherche prévoit plus de p – 1 comparaisons (p × q – 1 dans le cas d’un plan factoriel à deux facteurs), les contrastes peuvent être évalués selon la méthode de Bonferroni, soit une méthode de comparaison a priori).
• Si les comparaisons ne sont pas prédéterminées par les hypothèses, il faut recourir aux techniques de comparaisons multiples, appelées comparaisons a posteriori. Parmi celles-ci, deux sont plus utiles, a) le test de Tukey pour comparer toutes les moyennes entre elles, et b) le test de Dunnett pour comparer des moyennes avec la moyenne d’un groupe contrôle.

Avant de faire des comparaisons a posteriori, il faut s’assurer que l’effet principal ou l’effet simple (ayant plus de 2 niveaux) est significatif. En effet, si les moyennes extrêmes ne diffèrent pas, il n’est pas utile de regarder les moyennes intermédiaires. Lors de comparaison a priori, il ne faut pas regarder les résultats de l’ANOVA. Dans ce cours, nous n’expliquons que la méthode de comparaisons de moyennes à posteriori développée par Tukey. Il en existe d’autres, et le lecteur devrait être au courant des forces et faiblesses de chacune.

6.1. Test de Tukey

Un test de Tukey compare des moyennes à deux niveaux, par exemple _r et _s. Il s’agit toujours d’un test bicaudal. Il est de la forme

rejet de H₀ si > S(α)

dans lequel la valeur est distribuée comme une Studentized Range distribution.

Le nombre de degrés de liberté de cette statistique est donné par deux valeurs, (V, dl_e ) (voir Table 6). La seule difficulté dans le test de Tukey est d’identifier correctement le terme d’erreur CM_e, la valeur N, et le premier degré de liberté V. Ici, V représente toujours le nombre de groupes qui seront comparés (soit le nombre de niveaux de la variable).

a. Plan à un seul facteur.

L’utilisation d’un test de Tukey avec un plan à un seul facteur est très facile. Premièrement, il n’y a qu’un seul terme d’erreur, CM_S|A (contrairement aux plans factoriels à mesures répétées que nous verrons au prochain cours). La valeur V représente le nombre de niveaux de l’unique facteur A. N représente le nombre de sujets par groupe.

a.1. Exemple

Soit un plan à 6 groupes indépendants de 4 sujets chacun. Nous obtenons une ANOVA significative, comme le montre le tableau suivant :

Les moyennes extrêmes diffèrent donc. Les moyennes sont :

₁ = 10, ₂ = 14, ₃ = 16, ₄ = 18, ₅ = 20, ₆ = 24

Le nombre de groupes V est de 6. La valeur critique au seuil de 5% pour (6, 18) degrés de libertés est de 4.49. Le dénominateur est Si on manipule l’équation précédente, on trouve l’intervalle de confiance :

Autrement dit, si la distance entre deux moyennes excède 8.98, elle sera significative au seuil de 5%. On présente généralement les résultats dans une matrice triangulaire semblable à celle-ci, où l’on voit la différence entre deux moyennes :

différences	2	3	4	5	6
1	4	6	8	10 *	14 *
2		2	4	6	10 *
3			2	4	8
4				2	6
5					4
* : p < .05

Ce que le tableau nous indique, c’est que les groupes 1 et 6 diffèrent significativement, de même que les groupes 1 et 5, et 2 et 6. Pour vous aider, faîtes le graphique des moyennes, et essayer de voir les résultats obtenus par le test de Tukey. Notez que nous savions que la différence entre le groupe 1 et 6 était significative puisque l’ANOVA était significative.

b. Plan à deux facteurs

Ici, la procédure à suivre dépend de l’interaction. Si l’interaction n’est pas significative, alors les moyennes marginales représentent les effets des deux facteurs, A et B. Il est alors permis de faire un test de Tukey soit sur les moyennes des colonnes, soit sur les moyennes des lignes ou sur les deux. Lorsqu’on analyse les moyennes du facteur A (_1·,_2·, …, _p·), le nombre de moyennes comparées correspond au nombre de niveaux de la variable A, soit p. Le nombre de sujets est n q, puisque l’on fusionne les q niveaux de l’autre facteur ensemble. Finalement, le carré moyen d’erreur est obtenu par l’ANOVA directement avec ses degrés de liberté.

Lorsque l’interaction est significative, les effets simples ont été analysés (disons A|b_j). Pour chaque effet simple significatif (par exemple, A|b₁), un test de Tukey peut être appliqué, comparant les moyennes (c’est à dire la moyenne a₁|b₁, . a₂|b₁, … , a_p|b₁, que l’on note (₁₁,₂₁, …, _p1). Dans ce cas, le nombre de sujets est n (nombre de sujets par groupe). Ici, tout comme il n’est pas permis de décomposer A|b_j et B|a_i, il n’est pas permis de faire un Tukey sur les moyennes obtenues en A|b_j puis sur les moyennes obtenues en B|a_i.

6.2 Tableau récapitulatif